如何培养数学思维_父母必读_奥数网

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小孩子认识世界一般通过直感,也就是直接形象地去感知世界,而不是分析。比如,我们问小孩子为什么怕火,他们会把烧伤的手伸出来,说烫。这是最直接的感觉。一般而言,小学生学数学主要也是通过直感来认知的。想想我们小时候,最初是怎么学数学的?小时候学1+2=3,怎么学呢?拿一个苹果,再添上两个苹果,数数是三个苹果。所以1+2=3。这都需要通过现实中的东西来感觉,来认知。记得我们小时候学算术,都是通过数手指头来帮助运算的。后来学的数大起来了,手指头不够用了,怎么办呢?我比较聪明,就捡了一堆小石子,一遇到算术问题就数石子。  通过直感来认识世界,是最原始的本能。甚至可以说是无师自通的。所以即使没有读过书的人,也懂得如何计算数的加减乘除。小学生学数学主要就是通过这种形象的、直感的方式学习数学的。现在我们已经是中学生了,相应地学数学的方法也有了改变。  我们知道,小学时候的数学主要还是和具体的数字打交道。到中学后,就脱离具体的数字,主要和抽象的字母和数学符号打交道了。中学数学的主体是代数和几何,而几何也主要是通过字母来表示和运算的。代数,顾名思义,也就是代替数字,用抽象的字母和符号来代替具体的数字。从这角度来看,我们能很清楚地看出中学数学和小学数学的本质区别之何在。很多人以为中学数学只是比小学数学多学了一些知识,实际并不然,小学数学到中学数学,最重要的并不是那些知识,而是思维方式的转变,从形象的直感思维向抽象的逻辑思维转变。  现在再计算1+2=3,我们当然不必再数手指头了,直接就可以得出答案。这一方面是因为计算经验很多,熟能生巧。另一方面,则是因为我们已经可以脱离直感来计算了,不必借助外界中具体的形象来思考,可以直接通过抽象的逻辑来运算。这时候就到了第二个层次,要抽象地、逻辑地看数学。   第二,数学是一个逻辑体系,是逻辑的代言,是通过逻辑的方式来描述客观实在的。去年我和浙大人文学院的教授余式厚老师合作,编写一套《逻辑达人》系列的图书,我们大概六七个人一天到晚地忙碌。我曾有诗记之。  诗书实腹酒实樽,  楼外寒冬楼内春。  梅凋鹤去寻无意,  家事国情两不闻。  其中我主要编写的一个分册就是《逻辑与数学的联姻》。为此我专门写了一篇文章《逻辑与数学的联姻》,来阐述逻辑与数学之间的关系。  《逻辑与数学的联姻》  数学,自来被认为是逻辑的代言。一种说法认为,一门学问能成为一门科学,必须有数学的介入。这个说法虽有些偏颇,但我认为确有其道理。  一般来说,学问分为两大类,一是科学,一是艺术。艺术源于想象,科学源于实践——  当然,艺术的想象是基于实践的想象,科学的实践也是基于想象的实践。一门  学问能成为一门科学,必须要对实践过程中发生的繁杂的现象作一个分类,从而进行概括、梳理、归纳,进而探索其本质原因。简而言之,一门学问科学化的过程,  就是实践化、抽象化、概念化、条理化、体系化的过程。在这一过程中,逻辑理所当然地发挥了不可替代的作用。所以,我认为“一门学问能成为一门科学,必须有  数学的介入”这一说法,实质上是“一门学问能成为一门科学,必须有逻辑的介入”。只有逻辑介入,我们才能对那些随机的、偶然的、表象的、繁复的现象,进行  分类、归纳、总结,从而实现人为的复制。到这时,一门学问才真正成为一门完整的、成熟的科学。对于人类而言,野蛮与文明的分野,恰是逻辑的开端。  人类自认识外界开始,就在进行量的探索,在数的领域中翱翔。所以有历史学家考证认  为,会计学是科学的开端。事实上,对于数与量的探索,离不开对现实现象的抽象、归纳、与总结;同样,没有数量提供的一片原始的、广阔的天地,抽象、归纳、  总结这些系统性的方法也难以大展拳脚,其威力也难以得到充分的发挥。简而  言之,离开了数学的逻辑,难以发挥其作用;离开了逻辑的数学,难以形成其体系。数学是逻辑的载体,逻辑是数学的精神。所以,我认为在数学与逻辑之间,存在  着一种互相促进、互相补充、互相成就,甚至互相表达、互相代言的关系。因此,数学也就水到渠成地被认为是逻辑的代言。也就理所当然地有了“一门学问能成为  一门科学,必须有数学的介入”这一说法。  以上的说法,绝对不是无稽之谈。一般认为,两千多年前成书于古希腊的《几何原本》  是数学的集大成之作,同时也是逻辑学应用的集大成之作。这是很早之前逻辑学与数学就已进行联姻的一个明证。包括美国总统林肯在内的千千万万的人,都是通过  学习《几何原本》来训练自己的逻辑思考能力的。  考虑到逻辑与数学的这种历史渊源与现实关系,在本套《逻辑达人》系列丛书中,我们特意编写了这本《逻辑与数学的联姻》,再次展现逻辑学与数学之间微妙的关系,以及两者融合后所散发出的无穷的魅力。  既然数学与逻辑之间有如此紧密的联系,我们就不能孤立地将它们分裂开来。我学数学是非常注重数学的逻辑性的。在逻辑上能将数学融会贯通后,再随心所欲地发  挥数学的创造性,这是学习数学的正途。据我自己总结,我学数学的方法就是我所说的“三化方法”:概念的抽象化、思维的条理化、逻辑的体系化。其中概念是对  思考对象的抽象总结,是逻辑赖以存在的根基,可以说没有概念就没有逻辑,所以我们要深入地、抽象地去理解概念,而不能流于直观和表面。我曾写过一篇《我的  逻辑观》简述我对逻辑的思考:  《我的逻辑观》  去年冬天在余式厚老师处编写《逻辑达人》系列丛书。我们大概六七个人一天到晚地忙碌。我曾有诗记之。  诗书实腹酒实樽,  楼外寒冬楼内春。  梅凋鹤去寻无意,  家事国情两不闻。  因为我的数学功底不错,便主要负责编写《数学与逻辑的联姻》这一分部,整天埋首于  逻辑问题和数学问题,间或帮着答疑解惑。我是以数学和逻辑立足根基的,不敢自夸有成,亦小有所得。我的逻辑学不是来自于书本或其他人的教授,纯粹是我自己  从数学的学习与思考中体悟、总结来的,是数学的副产品,是我自己的  逻辑学。虽不博大精深,但还算切实有用。这里我并不想过多地谈逻辑,因我未系统学过逻辑学,也或有误导读者之嫌。所以这里只是简单介绍一下我的逻辑观。  我认为逻辑只是定义与性质、性质与定义,定义与定义、性质与性质之间的等价或包含  关系。欲有逻辑,必先有定义,也必先有性质,然后则逻辑自然生成。所谓定义,就是对某一思考对象的人为的抽象总结,抽象出其最基本、最本质的性质,这一性  质与这一定义完全成最简等价关系。所谓最简等价,便是没有、也不需  要多余的条件,两者独立互为充分必要条件的关系。这一定义便表示这一性质,这一性质也便等同这一定义,两者之间完全划等号。例如我们讲平行四边形,何为平  行四边形的定义?有人说两组对边分别平行、两组对边分别相等,两组对角分别相等、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。这便错了,因为这不是最简等价  关系,而是把定义与性质乱糟糟混合在一起,不明所以。事实上平行四边形的定义只是“两组对边分别平行的四边形”。一个四边形是“平行四边形”,便表示“两  组对边分别平行”,一个四边形“两组对边分别平行”,便表示它是“平行四边形”。对于四边形而言,“平行四边形”与“两组对边分别平行”两者之间完全划等  号。其它的诸如两组对边分别相等、两组对角分别相等、两条对角线互相平分,都是在这一定义的基础上通过逻辑推导出来的,只是它的衍生性质——当然可以证明  它们也都是等价的。  定义从何而来?定义来自于概念。所谓概念便是人们对事物本身的认识,我字面理解一  下,就是人对事物本身概括地思考它是什么。简单来说,我认为概念就是没完全脱离实体存在的、不成熟的定义。概念来自于哪里?我认为概念来自于常识。所谓常  识,便是人们对思考对象经过积累的、直接的、实践性的、感觉性的认  识。另外补充一下,我认为逻辑赖以存在的公理、公设也是对常识的抽象总结。所以我认为,逻辑是常识的抽象影像,或说逻辑只是常识的另一种抽象的表述形式。  逻辑与常识经常表现出高度的一致,原因也在于此。其实日常生活中,很多人都是把逻辑与常识混为一谈了,错把常识当逻辑。举例来说,如果我说因为今天阴天,  所以今天不会下雨。别人会说我说话不合逻辑。事实上,这句话无干逻辑,只是不合常识。对于一般人来说,是常识告诉我们阴天往往会下雨,而不是逻辑。那么怎  么才关系到逻辑呢?如果我们给“阴天”和“下雨”下个定义,便是逻辑的问题了。比如,我们定义“阴天”为“由于天空中水滴很多而凝聚成云,从而引起的一种  阳光很少或不能透过云层,  天色阴暗的天空状况”,定义“下雨”为“空气中凝结的小水滴从天空中落下来”。那么“阴天往往会下雨”便是一个逻辑问题了。“阴天”表示“空气中小水滴很  多”,“小水滴很多”则“凝结起来降下来”的概率就很大,这便是往往会“下雨”了。  理清了逻辑与定义的关系,理清了逻辑与常识的区别,然后才能逐步理解何谓逻辑,在此基础上才能最好地、准确地运用逻辑。脱离了常识谈逻辑,基本上只是做做头脑游戏,没多大意义。  记得在余老师处,每天都是我们自己烧菜,洗洁精用得很快。有一次余老师一次性购买了三瓶洗洁精,一位女生问他为何不买桶装洗洁精。余老师愕然问道:“洗洁精有桶装的么?”我笑道:“余老师,您逻辑学虽然好,可是只有逻辑是不够的,还需要常识。”满屋哄然大笑。  其实对于生活而言,只有逻辑和常识还是不够的,这两者只是人们对身外的认识,另外  还需要对心内的诉求,这便是信念。信念无干逻辑,无干常识,无需经过理性的审查,只是一个“信”字,所谓“信则灵”。然而我们不能因为信念无需经过理性的  审查,便说信念不理性。事实上经过优胜劣汰的选择,信念与理性是呈现高度一致性的——虽然并不完全一致。  我一直用逻辑体系安排自己的生活,最终却发现了两个互相矛盾的公设。自由与责任,难矣哉两全。其中的协调与取舍实在令人头疼。单纯的逻辑是没有意义的,还需要信念与常识。纵使逻辑不能帮我解决所有问题,我还有理性。当然,偶尔也可以借鉴一下随机体系。  基于以上所说,第二步,我们要抽象地、逻辑地学数学。这是中学必须要完成的一个培养。至于怎么学呢?我有以下三个总结:  (一)加深对概念与公理的理解,从抽象、逻辑上理解,而不能流于直观化、表面化(而这正是大多数学生的问题所在);  (二)学会对概念与公理的运用,并融入潜意识,形成本能。一切问题都回归到基本的概念与公理,并从概念与公理出发进行逻辑推导。我认为这将会培养学生深刻理解问题本质,从基本假设出发建立理论体系的能力,对学生日后的发展将有不可估量的影响;  (三)强化思维训练,加强思维的灵活与开阔,打破僵化的思维模式,学会正确的思考方法。以我的经验,我认为,多思考、分析趣题、难题,并思考其之思考,是比较有效的方法。  最后,数学就是一套思维方法,是沟通形象与抽象的一座桥梁。数学要培  养的就是能够从直观的、具体的形象中抽象出逻辑概念,又能够把抽象的概念翻译成直观的、具体的形象,但是又不是简单地等同于直观对象的能力。我所看到的数  学家大部分都是这样的,在他们眼中,抽象的概念本身就像是直观可以感知的东西。(当然也有一些代数学家能够直接地进行抽象的思考)。这是思维的高级阶段,  已经是形象思维和抽象思维完全融为一体,无所谓形象还是抽象了。  通过以上叙述,我们可以看出,小学阶段,我们主要通过形象、直感的思维方式学数学,并逐渐通过形象、直感的方式,培养抽象的、逻辑的思维方式。中学阶段  ——包括初中和高中——则主要培养并加强抽象的、逻辑的思维,并逐步完成逻辑的概念化、条理化和体系化。如果大学还要就一步深修数学,则还要培养将形象、  直感的思维与抽象的、逻辑的思维通汇贯通,融为一体的化合思维。也即是我所说的,抽象之抽象,谓之悟。这时则可以体现出数学的创造性和思想性。  以上所谈思维的三个阶段,就像人生的三重境界,第一境界,看山是山,看水是水;第二境界,看山不是山,看水不是水;第三境界,看山还只是山,看水还只是  水。小孩子的形象的直感思维,就是第一境界,看山是山,看水是水。中学要培养的抽象的逻辑思维,是第二境界,看山不是山,看水不是水。再然后才是第三境  界,看山还只是山,看水还只是水。这时形象的直感思维和抽象的逻辑思维已经融为一体了,分不清彼此。这是思维的最高层境界。  欢迎访问奥数网,您还可以通过手机等移动设备查询小学试题库、小学资源库、小升初动态、重点中学、家庭教育信息等,2021小升初我们一路相伴。[点击查看]相关文章在小学数学教学中培养学生的思维能力一年级小学生如何培养数学思维一年级数学思维训练:图形练习Day7一年级数学思维训练:图形练习Day20一年级数学思维训练:图形练习Day23小学数学学习习惯的培养之创造思维在生活和学习中培养孩子的数学思维小学数学初级思维逻辑训练题九数学学习习惯要从小学开始培养怎样培养小学生的数学思维如何培养小学生数学学习习惯四年级数学思维训练引导例题详解――横式问三年级华罗庚数学思维训练之基本应用题三年级数学思维训练引导例题详解(一)五年级数学思维训练100题及解答(86―五年级数学思维训练100题及解答(1―5数学学习中学生自我监控能力的培养五年级数学下思维训练3五年级数学下思维训练1如何培养孩子数学直觉思维培养小学数学学习方法的八个关键点一年级数学思维训练题5五年级数学思维训练100题及解答(96―苏教版四年级数学――让思维与人文共舞――如何培养学生学习数学的能力如何培养学习数学的兴趣0――6岁孩子数学智能启蒙的培养方案数一数培养数学小天才培养六种良好数学学习习惯(二)点击查看更多分享到:qq空间新浪微博百度搜藏人人网document.getElementById("bdshell_js").src = "http://bdimg.share.baidu.com/static/js/shell_v2.js?t=" + new Date().getHours();jQuery(document).ready(function(){jQuery("#bdshare a").click(function(){_gaq.push([_trackSocial, $(this).attr("class"),baidu_share,this.innerHTML,EDUU_GKEY]);});jQuery(".bds_more 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